FeBull

大學修過拓樸的人應該是會影起共鳴吧~哈哈~~
誰說拓樸不重要! 誰說只是純理論!! 交大資工所的人還問過我拓樸 =         = (不過那是我的巔峰時期，現在...)

Mr. Thursday介紹的書是我研究所時寫論文要拿來參考的專書說! 難怪那麼有親切感(還是恐懼感...)

引用自[MMDays專欄]

Posted By Mr. Thursday

在《探討拓樸和語意之間的關係》這篇文章裡面，稍微探討了語意的問題，以及拓樸對於語意問題可能的解決方法。然而在拓樸方面，只有約略和各位提到，拓樸就是對一個集合作運算，集合裡面的元素，不管怎樣子擴張壓縮變形，之間的關係都會維持著，這種運算就符合拓樸的條件。如果對於集合的基本想法和運算有些不記得，可以先參考另外一篇文章《集合: 從邏輯到1+1=2》。

因此，為了解決用電腦來處理語意資訊的這個問題，筆者打算用拓樸來嚐試解決，拓樸又是使用集合作為運算的基本單位，因此有了前面第一篇拓樸的簡介文章，以及第二篇有關集合的簡介文章。然而拓樸空間本身的定義，則是有一定程度的複雜性，接下來的一系列文章，我將努力把拓樸的觀念，在使用白話文、卻又不失去數學公式所定義的觀念下，向各位介紹「拓樸」(topology)，然後介紹「流形」(manifolds)，最後回到一開始設定的目標：「用流形 (manifolds) 來嚐試解決語意 (semantic) 問題」。

在這條漫長的道路裡面，今天我們先來看其中的一小段。今日的主角是「開集合」，英文是 open set。有了集合的基本概念，再加上「開集合」的概念，我們就可以開始了解「拓樸空間」的基本定義，在這條路上往前一步，同時也可以了解相關的概念：「歐氏空間」、「度量空間」、以及最廣義的「拓樸空間」。

離散集合與連續集合 

在介紹「開集合」之前，讓我們先看看，「集合」是甚麼樣子呢？

如果有學過離散數學，也許印象中的集合，就是一些離散的元素，某些元素會形成一個集合。兩個集合有共同的元素，也就代表兩個集合是有交集的。上面這張圖裡面，前面兩條數線，就是代表一個一維的空間，有點的數線代表離散的集合，彩色線段的數線，則是代表實數的集合。實數也是有集合的，然而了解實數的集合，有時候就會需要了解實數的特性，因此會有其他複雜的地方出現，今天先不提 (先給一題有趣的讓各位想想，0.999…無限循環，是否等於1？答案：是)。

上圖的下面則是同樣對照離散集合和實數集合，只不過從一維空間的數線，推廣到二維空間的平面。讀者可以自己以此類推，想像一下在三維空間、四維空間、或是 n 維空間裡面，離散集合或是實數集合，會是甚麼樣子呢？

 開集合

接下來讓我們先看一下 Wikipedia 上面，對開集合的定義：

A subset U of the Euclidean n-space Rⁿ is called open if, given any point x in U, there exists a real number ε > 0 such that, given any point y in Rⁿ whose Euclidean distance from x is smaller than ε, y also belongs to U. Equivalently, U is open if every point in U has a neighbourhood contained in U.

不是學數學的讀者看完可能昏倒了。不過Wikipedia也有寫一個比較直覺的定義，就是說一個集合裡面的元素，如果移動一點點距離，還是在原來的集合裡面，那麼這個集合就是開集合 (open set)。

下面這張圖分別是一維空間的實數開集合和閉集合的對照，上面兩個空心的線段，代表 (0,1)，也就是說，是一個實數線段，但是0和1這兩個數字不包括在這個線段裡面。這樣子的線段，就是一個開集合！

第二條數線上面的0到1的線段，是一個閉集合(closed set)，為甚麼呢？因為根據剛才的定義，我們把數線上面的端點 1 稍微往外面移動一段非常小的距離，我們會發現，1就會跑到原來的集合外面了。

這部分不知道各位會不會覺得太玄了？如果有問題的話之後可以再多解釋。 上圖的下面兩個圓圈，則是在二維空間裡面開集合和閉集合的對照，右邊那個圓不包括最外面那一圈圓周，因此裡面的每一個點，稍微移動一下距離，都還是待在原來的集合裡面，所以是一個開集合。

開集合在不同空間的定義 

然而根據上面的定義，如果一個集合，是一個開集合，「集合裡面每一個元素，稍微移動一個很小的距離，都會待在原來的集合裡面」，就是一個開集合。這邊「很小的距離」，要如何定義呢？這個時候，在不同的空間裡面，對距離有不一樣的定義，開集合的定義，也就跟著不一樣了。首先看看我們最熟悉的「歐氏空間」。

歐式空間簡單地說，就是空間裡面物體之間的「距離」，可以用「相減平方開根號」來計算：

The Euclidean distance between points and , in Euclidean n-space, is defined as:

            
這是Wikipedia裡面的敘述，P和Q兩點之間的「距離」，在歐氏空間裡面，可以用這個「歐氏距離」來計算。

歐氏空間、度量空間、拓樸空間 

所以，我們熟悉的歐氏空間，和度量空間、拓樸空間，有甚麼不同呢？我們先翻譯一下英文，歐氏空間英文叫做 Euclidean Space，度量空間英文叫做 Metric Space，拓樸空間英文叫做 Topological Space。這三種空間，最大的差別，就是在於對「距離」的定義。

剛才已經看到了歐氏空間距離的定義，那麼度量空間對距離的定義是甚麼呢？Wikipedia的敘述如下：

A metric space is a tuple (M,d) where M is a set and d is a metric on M, that is, a function

such that

1. d(x, y) ≥ 0     (non-negativity)
2. d(x, y) = 0   if and only if   x = y     (identity of indiscernibles)
3. d(x, y) = d(y, x)     (symmetry)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (triangle inequality).

我們可以看到，度量空間開始在一個集合上面，定義元素之間的距離了。簡單地說，度量空間的規定比歐氏空間少，他把距離交給一個函數d(x,y)來計算 x和y的距離，只要這個「距離函數」滿足上面的條件即可，其中最重要的，就是滿足「三角不等式」。三角不等式就是說，三角形的任意兩邊相加，必定大於第三邊的長度。x和y的距離，必定要小於x和z的距離加上 z和y的距離。符合這個條件，就是一個度量空間  (Metric Space)。

 也因為如此，因為度量空間比歐氏空間還要寬鬆，所以只要一個空間是歐氏空間，必定是一個度量空間，但反之則不一定成立。

那麼拓樸空間是否就是一個更寬鬆的空間呢？是的！拓樸空間的規定更寬鬆，拓樸空間也是在一個集合上面定義，但是連距離函數都沒有，那麼怎樣子計算元素之間的距離呢？這邊就沒有距離了，只有「屬於」和「不屬於」的關係了！也就是說，探討拓樸空間裡面的物體，我們只問這個物體是否屬於某個集合，那個物體是否屬於某個集合，在拓樸空間裡面，只有集合，以及集合裡面元素從屬的概念。距離的概念，在拓樸空間裡面就消失了。當然，正式的拓樸空間比較嚴謹，讓我們先看看Wikipedia的定義：

The most common way to define a topological space is as a set X together with a collection T of subsets of X satisfying the following axioms:

1. The empty set and X are in T.
2. The union of any collection of sets in T is also in T.
3. The intersection of any finite collection of sets in T is also in T.

The collection T is called a topology on X, and the elements of X are called points. Under this definition, the sets in T are the open sets, and their complements in X are the closed sets.

不知道各位是否看到，裡面出現了 “open set”了呢？ 所以從最前面講到現在，open set終於派上用場了！一個拓樸空間，我們可以想像成一個可以任意塑造的陶土。陶土上面每一個元素，就像是拓樸空間裡面的集合X裡面的元素。接下來集合X裡面的元素，必須依照一個拓樸 (topology)來塑造，我們用大寫字母T來代表。這個塑造，其實也是一個集合，但是是剛才大寫X集合元素形成的集合的集合。感覺又要開始混亂了，先確定一下各位了解，集合的集合這個概念，如果有問題歡迎之後提問。

T這個集合的集合 (定義裡面又用Collection來代表T這個集合的集合)，就是把X集合裡面的元素，某些元素規定在一起，某些元素放在一起，用「集合」本身，來規範空間裡面元素之間的關係，用「集合」運算裡面的「屬於」和「不屬於」，來定義空間裡面元素的關係。正式的T的定義，規定T要有封閉性，也就是T裡面的集合聯集(union)無限多次，仍就會變成T裡面的某個集合，也就是還在T裡面。T裡面的集合，有限次的交集(intersection)之後，還是在T裡面。符合上面這些條件，X集合、和T這個集合的集合，一起就稱為一個拓樸空間。

 下面開始圖示法，綠色點就是集合X裡面的元素，藍色橢圓，就是塑造陶土形狀的集合，這些塑造形狀的集合，在變成一個大T集合的元素，也就是紅色橢圓，就是一個集合的集合 (因為集合裡面的元素，就是一個集合，所以叫做集合的集合)。大T又稱為 Collection，大T和X在一起，就定義出了一個拓樸空間。

最後，因為T的定義，讓T自然而然變成是一個開集合 open set，才能符合拓樸空間對T的定義。 

 不同空間的開集合定義

現在我們終於曉得三種空間的定義。歐氏空間、度量空間、拓樸空間，主要的差別在於「距離」的定義，歐氏空間規定最嚴格，距離使用「歐氏距離」的公式 (平方相加開根號)；度量空間比較寬鬆，把距離交給「距離函數」，只要滿足對稱性和三角不等式就可以。拓樸空間最寬鬆，沒有距離的概念，只有元素是否屬於某個集合的「從屬」概念，塑造元素關係的集合必須滿足有限交集、無限次聯集都有定義的限制，因此剛好又是開集合。

所以因為這三種空間的定義，一個歐氏空間一定是一個度量空間，一個度量空間必定是一個拓樸空間。但是反之則不然，一個拓樸空間可能不是一個度量空間，一個度量空間也可能因為不滿足歐氏距離，所以不是歐氏空間。下面讓我們再看一次這張示意圖：

講到這邊，雖然不同空間對於距離有不同的定義，但是開集合在不同空間的定義，還來不及一一敘述，只好等下一篇在繼續了。再加上拓樸空間本身又是開集合定義，讓我一開始也不知道要先介紹開集合，還是先介紹拓樸空間。因為先介紹拓樸空間，各位不知道開集合是甚麼，先介紹開集合，不同空間對開集合的定義又不一樣，實在是讓我不知道如何下筆才好。希望這一篇文章，至少讓各位可以先了解三種空間，在直覺或視覺上面，先有基本的了解！應該就很不錯了！

下回再繼續開集合的解說，希望能夠讓各位對於拓樸空間有比較清楚的了解。知道了開集合的基礎 (neighborhood、open ball)，用開集合定義出來的拓樸空間，我們才能繼續了解以拓樸空間定義的其他空間，最後才能到達旅程的目的地，也就是流形 (manifolds)。了解了流形，才能再回到一開始提出的想法：使用流形來嚐試解決語意的問題。

拓樸參考書 

在學習拓樸之前，我也在網路上找各種定義，然而有些定義實在是不容易入門，最後在網路上找到這本書籍，覺得應該是本不錯的入門書，如果讀者有興趣可以買一本，或是直接在大學數學系的圖書館借看看。

書名：Introduction to Topological Manifolds

作者：John M. Lee

書本網站：

http://www.math.washington.edu/~lee/Books/manifolds.html

第一章試讀PDF

http://www.math.washington.edu/~lee/Books/Manifolds/c1.pdf

之前我就是從這本書開始慢慢打基礎，配合MathWorld網站的定義，才逐漸明瞭這一切概念之間的關聯。不過在這邊和各位分享的時候，相信我絕對不是從課本上面照抄，也不是直接英文翻成中文，而是以一種作註解的想法，希望讓各位更容易看懂，就如同古代有《水經》，後來為了讓讀者更容易了解，又有了《水經江水注》的著作。由於拓樸本來就不大容易懂，因此我要消化吸收後，再用大家更容易懂的方式寫出來，也就更不容易了。

然而，因為有了解決語意問題的這個目標， 每次的一小步也都有意義，也希望各為每次順暢地吸收一點知識，日積月累後也同樣懂得拓樸的知識！就如同大家都會九九乘法表，相信大家都會拓樸的時候，或許能夠有更多智慧可以由大家一起開發出來！願你我一同繼續努力！並祝各位新年快樂！

MMDays相關閱讀

• 探討拓樸和語意之間的關係
• 集合: 從邏輯到1+1=2

Wikipedia相關連結

• Open set
• Topological space
• Metric space
• Euclidean space

維基百科相關連結

• 開集合
• 拓樸空間
• 度量空間
• 歐氏空間

MathWorld相關連結

• Open set 
• Topological space
• Metric space
• Euclidean space