大學修過拓樸的人應該是會影起共鳴吧~哈哈~~
誰說拓樸不重要! 誰說只是純理論!! 交大資工所的人還問過我拓樸 =         = (不過那是我的巔峰時期,現在...)

Mr. Thursday介紹的書是我研究所時寫論文要拿來參考的專書說! 難怪那麼有親切感(還是恐懼感...)

引用自[MMDays專欄]

Posted By Mr. Thursday

在《探討拓樸和語意之間的關係》這篇文章裡面,稍微探討了語意的問題,以及拓樸對於語意問題可能的解決方法。然而在拓樸方面,只有約略和各位提到,拓樸就是對一個集合作運算,集合裡面的元素,不管怎樣子擴張壓縮變形,之間的關係都會維持著,這種運算就符合拓樸的條件。如果對於集合的基本想法和運算有些不記得,可以先參考另外一篇文章《集合: 從邏輯到1+1=2》。

因此,為了解決用電腦來處理語意資訊的這個問題,筆者打算用拓樸來嚐試解決,拓樸又是使用集合作為運算的基本單位,因此有了前面第一篇拓樸的簡介文章,以及第二篇有關集合的簡介文章。然而拓樸空間本身的定義,則是有一定程度的複雜性,接下來的一系列文章,我將努力把拓樸的觀念,在使用白話文、卻又不失去數學公式所定義的觀念下,向各位介紹「拓樸」(topology),然後介紹「流形」(manifolds),最後回到一開始設定的目標:「用流形 (manifolds) 來嚐試解決語意 (semantic) 問題」。

在這條漫長的道路裡面,今天我們先來看其中的一小段。今日的主角是「開集合」,英文是 open set。有了集合的基本概念,再加上「開集合」的概念,我們就可以開始了解「拓樸空間」的基本定義,在這條路上往前一步,同時也可以了解相關的概念:「歐氏空間」、「度量空間」、以及最廣義的「拓樸空間」。

spaces 

離散集合與連續集合 

在介紹「開集合」之前,讓我們先看看,「集合」是甚麼樣子呢?

 sets

如果有學過離散數學,也許印象中的集合,就是一些離散的元素,某些元素會形成一個集合。兩個集合有共同的元素,也就代表兩個集合是有交集的。上面這張圖裡面,前面兩條數線,就是代表一個一維的空間,有點的數線代表離散的集合,彩色線段的數線,則是代表實數的集合。實數也是有集合的,然而了解實數的集合,有時候就會需要了解實數的特性,因此會有其他複雜的地方出現,今天先不提 (先給一題有趣的讓各位想想,0.999…無限循環,是否等於1?答案:是)。

上圖的下面則是同樣對照離散集合實數集合,只不過從一維空間的數線,推廣到二維空間的平面。讀者可以自己以此類推,想像一下在三維空間、四維空間、或是 n 維空間裡面,離散集合或是實數集合,會是甚麼樣子呢?

 開集合

接下來讓我們先看一下 Wikipedia 上面,對開集合的定義:

A subset U of the Euclidean n-space Rn is called open if, given any point x in U, there exists a real number ε > 0 such that, given any point y in Rn whose Euclidean distance from x is smaller than ε, y also belongs to U. Equivalently, U is open if every point in U has a neighbourhood contained in U.

不是學數學的讀者看完可能昏倒了。不過Wikipedia也有寫一個比較直覺的定義,就是說一個集合裡面的元素,如果移動一點點距離,還是在原來的集合裡面,那麼這個集合就是開集合 (open set)。

下面這張圖分別是一維空間的實數開集合和閉集合的對照,上面兩個空心的線段,代表 (0,1),也就是說,是一個實數線段,但是0和1這兩個數字不包括在這個線段裡面。這樣子的線段,就是一個開集合!

open_set

第二條數線上面的0到1的線段,是一個閉集合(closed set),為甚麼呢?因為根據剛才的定義,我們把數線上面的端點 1 稍微往外面移動一段非常小的距離,我們會發現,1就會跑到原來的集合外面了。

這部分不知道各位會不會覺得太玄了?如果有問題的話之後可以再多解釋。 上圖的下面兩個圓圈,則是在二維空間裡面開集合閉集合的對照,右邊那個圓不包括最外面那一圈圓周,因此裡面的每一個點,稍微移動一下距離,都還是待在原來的集合裡面,所以是一個開集合。

開集合在不同空間的定義 

然而根據上面的定義,如果一個集合,是一個開集合,「集合裡面每一個元素,稍微移動一個很小的距離,都會待在原來的集合裡面」,就是一個開集合。這邊「很小的距離」,要如何定義呢?這個時候,在不同的空間裡面,對距離有不一樣的定義,開集合的定義,也就跟著不一樣了。首先看看我們最熟悉的「歐氏空間」。

歐式空間簡單地說,就是空間裡面物體之間的「距離」,可以用「相減平方開根號」來計算:

The Euclidean distance between points P=(p_1,p_2,\dots,p_n)\, and Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\,, in Euclidean n-space, is defined as:

            \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i-q_i)^2}.
這是Wikipedia裡面的敘述,P和Q兩點之間的「距離」,在歐氏空間裡面,可以用這個「歐氏距離」來計算。

歐氏空間、度量空間、拓樸空間 

所以,我們熟悉的歐氏空間,和度量空間拓樸空間,有甚麼不同呢?我們先翻譯一下英文,歐氏空間英文叫做 Euclidean Space度量空間英文叫做 Metric Space拓樸空間英文叫做 Topological Space。這三種空間,最大的差別,就是在於對「距離」的定義。

剛才已經看到了歐氏空間距離的定義,那麼度量空間對距離的定義是甚麼呢?Wikipedia的敘述如下:

A metric space is a tuple (M,d) where M is a set and d is a metric on M, that is, a function

such that

  1. d(x, y) ≥ 0     (non-negativity)
  2. d(x, y) = 0   if and only if   x = y     (identity of indiscernibles)
  3. d(x, y) = d(y, x)     (symmetry)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (triangle inequality).

我們可以看到,度量空間開始在一個集合上面,定義元素之間的距離了。簡單地說,度量空triangle_ietriangle_ie間的規定比歐氏空間少,他把距離交給一個函數d(x,y)來計算 x和y的距離,只要這個「距離函數」滿足上面的條件即可,其中最重要的,就是滿足「三角不等式」。三角不等式就是說,三角形的任意兩邊相加,必定大於第三邊的長度。x和y的距離,必定要小於x和z的距離加上 z和y的距離。符合這個條件,就是一個度量空間  (Metric Space)。

 也因為如此,因為度量空間比歐氏空間還要寬鬆,所以只要一個空間是歐氏空間,必定是一個度量空間,但反之則不一定成立。

triangle_ietriangle_ie

那麼拓樸空間是否就是一個更寬鬆的空間呢?是的!拓樸空間的規定更寬鬆,拓樸空間也是在一個集合上面定義,但是連距離函數都沒有,那麼怎樣子計算元素之間的距離呢?這邊就沒有距離了,只有「屬於」和「不屬於」的關係了!也就是說,探討拓樸空間裡面的物體,我們只問這個物體是否屬於某個集合,那個物體是否屬於某個集合,在拓樸空間裡面,只有集合,以及集合裡面元素從屬的概念。距離的概念,在拓樸空間裡面就消失了。當然,正式的拓樸空間比較嚴謹,讓我們先看看Wikipedia的定義:

The most common way to define a topological space is as a set X together with a collection T of subsets of X satisfying the following axioms:

  1. The empty set and X are in T.
  2. The union of any collection of sets in T is also in T.
  3. The intersection of any finite collection of sets in T is also in T.

The collection T is called a topology on X, and the elements of X are called points. Under this definition, the sets in T are the open sets, and their complements in X are the closed sets.

不知道各位是否看到,裡面出現了 “open set”了呢? 所以從最前面講到現在,open set終於派上用場了!一個拓樸空間,我們可以想像成一個可以任意塑造的陶土。陶土上面每一個元素,就像是拓樸空間裡面的集合X裡面的元素。接下來集合X裡面的元素,必須依照一個拓樸 (topology)來塑造,我們用大寫字母T來代表。這個塑造,其實也是一個集合,但是是剛才大寫X集合元素形成的集合的集合。感覺又要開始混亂了,先確定一下各位了解,集合的集合這個概念,如果有問題歡迎之後提問。

T這個集合的集合 (定義裡面又用Collection來代表T這個集合的集合),就是把X集合裡面的元素,某些元素規定在一起,某些元素放在一起,用「集合」本身,來規範空間裡面元素之間的關係,用「集合」運算裡面的「屬於」和「不屬於」,來定義空間裡面元素的關係。正式的T的定義,規定T要有封閉性,也就是T裡面的集合聯集(union)無限多次,仍就會變成T裡面的某個集合,也就是還在T裡面。T裡面的集合,有限次的交集(intersection)之後,還是在T裡面。符合上面這些條件,X集合、和T這個集合的集合,一起就稱為一個拓樸空間。

 下面開始圖示法,綠色點就是集合X裡面的元素,藍色橢圓,就是塑造陶土形狀的集合,這些塑造形狀的集合,在變成一個大T集合的元素,也就是紅色橢圓,就是一個集合的集合 (因為集合裡面的元素,就是一個集合,所以叫做集合的集合)。大T又稱為 Collection,大T和X在一起,就定義出了一個拓樸空間

topological_space

最後,因為T的定義,讓T自然而然變成是一個開集合 open set,才能符合拓樸空間對T的定義。 

 不同空間的開集合定義

現在我們終於曉得三種空間的定義。歐氏空間、度量空間、拓樸空間,主要的差別在於「距離」的定義,歐氏空間規定最嚴格,距離使用「歐氏距離」的公式 (平方相加開根號);度量空間比較寬鬆,把距離交給「距離函數」,只要滿足對稱性和三角不等式就可以。拓樸空間最寬鬆,沒有距離的概念,只有元素是否屬於某個集合的「從屬」概念,塑造元素關係的集合必須滿足有限交集、無限次聯集都有定義的限制,因此剛好又是開集合。

所以因為這三種空間的定義,一個歐氏空間一定是一個度量空間,一個度量空間必定是一個拓樸空間。但是反之則不然,一個拓樸空間可能不是一個度量空間,一個度量空間也可能因為不滿足歐氏距離,所以不是歐氏空間。下面讓我們再看一次這張示意圖:

spaces 

講到這邊,雖然不同空間對於距離有不同的定義,但是開集合在不同空間的定義,還來不及一一敘述,只好等下一篇在繼續了。再加上拓樸空間本身又是開集合定義,讓我一開始也不知道要先介紹開集合,還是先介紹拓樸空間。因為先介紹拓樸空間,各位不知道開集合是甚麼,先介紹開集合,不同空間對開集合的定義又不一樣,實在是讓我不知道如何下筆才好。希望這一篇文章,至少讓各位可以先了解三種空間,在直覺視覺上面,先有基本的了解!應該就很不錯了!

下回再繼續開集合的解說,希望能夠讓各位對於拓樸空間有比較清楚的了解。知道了開集合的基礎 (neighborhood、open ball),用開集合定義出來的拓樸空間,我們才能繼續了解以拓樸空間定義的其他空間,最後才能到達旅程的目的地,也就是流形 (manifolds)。了解了流形,才能再回到一開始提出的想法:使用流形來嚐試解決語意的問題。

拓樸參考書 

在學習拓樸之前,我也在網路上找各種定義,然而有些定義實在是不容易入門,最後在網路上找到這本書籍,覺得應該是本不錯的入門書,如果讀者有興趣可以買一本,或是直接在大學數學系的圖書館借看看。

 

書名:Introduction to Topological Manifolds

作者:John M. Lee

書本網站:

http://www.math.washington.edu/~lee/Books/manifolds.html

第一章試讀PDF

http://www.math.washington.edu/~lee/Books/Manifolds/c1.pdf

之前我就是從這本書開始慢慢打基礎,配合MathWorld網站的定義,才逐漸明瞭這一切概念之間的關聯。不過在這邊和各位分享的時候,相信我絕對不是從課本上面照抄,也不是直接英文翻成中文,而是以一種作註解的想法,希望讓各位更容易看懂,就如同古代有水經,後來為了讓讀者更容易了解,又有了《水經江水注》的著作。由於拓樸本來就不大容易懂,因此我要消化吸收後,再用大家更容易懂的方式寫出來,也就更不容易了。

然而,因為有了解決語意問題的這個目標, 每次的一小步也都有意義,也希望各為每次順暢地吸收一點知識,日積月累後也同樣懂得拓樸的知識!就如同大家都會九九乘法表,相信大家都會拓樸的時候,或許能夠有更多智慧可以由大家一起開發出來!願你我一同繼續努力!並祝各位新年快樂!

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留言列表 (7)

禁止留言
  • j227667454
  • 我睡了...
  • 哈~~~晚安....(你不會稅我才覺得奇怪勒~科科)

    febull 於 2008/02/10 01:12 回覆

  • footka
  • 在網誌放這個誰要看= =
    感覺數學好恐怖....
  • 沒人看的話....就自己看囉~哈~~ 以前我這可是很強的說!!
    如果想搞研發想走高科技路線,數學是一定要好的~ 不然充其量只是一個技術員喔~

    febull 於 2008/02/10 22:08 回覆

  • footka
  • 老師...
    你認識趙治德喔?
  • 不認識ㄟ = = 只是他寫了一首歌我很喜歡,無意間搜尋到他的網誌.... 再世界的另一端,好聽說!

    febull 於 2008/02/10 22:09 回覆

  • yiyiChun
  • 哈,看到這個就好懷念喔,
    好久沒碰數學了,一整個親切了起來,
    真有你的,夠專業,果然適合當老師~


  • peter1975012
  • 你的文章寫的不錯喔~~~^^
  • 謝謝喔~^ ^ 但這篇是轉錄的就是了...

    febull 於 2008/02/17 01:53 回覆

  • mic466
  • 不錯喔~~~





























  • way60714
  • 恩~
    原來這就是拓墣阿!!

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