每當下學期的時候，高二學生的惡夢可能就會開始，為什麼我會說可能呢? 因為對
某些人來說，是個好夢，而那就是高中數學的重頭戲之一---排列組合!!
有些人會覺得排列組合根本就不知道他在做啥，看到題目根本就不知道怎麼下筆，
明明算是就那麼短，但就是寫不出來，寫出來又不知道自己寫的對不對，因為這不
像以前的學的多項是三角函數，排列組合含有更多的理解成份，在理解未透徹，則
拼命練習未必能對方數有幫助的一個主題。
最近在家教的時候，好像每節都是在上腦筋急轉彎，我的學生說：雖然很難，但是
很有趣（他是計算超容易錯誤的粗心鬼＝ ＝），而且不斷的動腦的確可以避免
昏昏欲睡，我寫這篇不是要教大家排列組合啦！排列組合博大精深，怎麼可能用三
言兩語說完，但我倒是可以大概說一下學習這部份的方法（但不管怎樣，練習必須
的！）
1.不要忽略一開始的基本觀念：
包括集合概念、加法原理、乘法原理，看似簡單，但若能了解透徹，對往後學習排
列極組合有極大的幫助，許多的學生往往忽略的一開始的基本觀念，造成後來的觀
念錯亂，加寫乘、乘寫加，到時才恍然大悟，真的是得不償失....
2.了解每個符號及專有名詞的意義：
包括集合符號、集合運算符號、Ｃ、Ｐ、Ｈ....等，這些意義也要真的了解透徹，現
在題目都出的不錯，一個組題往往可以測試你對每個運算方法的了解程度，在看完
定義之後，馬上練習，不會就回去重看定義，再不懂就趕快問會的人或老師，即時
性是很重要的！
3.不要急著做較複雜題目，不要忽略簡單題型：
有些人會想直接寫較難的題目，想說可以一勞永逸，但其實較複雜的題目其實是由
較簡單的題目組合而成，若將較基本的題目有了通盤的了解，其實較難的題目不用
做的太多，就能上手。
4.知道每個算法，每個符號加減乘除的意義：
為什麼用C、為什麼P、為什麼用重複排列，為什麼用重複組合，為什麼要先做 C
再做重複組合，為什麼這邊要用乘，為什麼那邊要用加，都要徹底的了解，若懂了
最好在旁邊註記，不要只留個式子在那邊，因為你下次可能又看不懂了，到時在複
習的時候又得花時間想，得不償失...
5.讓題目怕你，不要怕題目：
排列組合變化比較多，但觀念其實是很簡單的，只要把過關鍵即可，所以看到題目
先不要怕，這不是投降輸一半，好好想想題目是問什麼觀念，試著下筆，如果覺得
有誤再慢慢修正，千萬不要急著問人，因為到時被問的人會越來越強，不是你...
總歸一句，了解觀念-練習，不懂，回去再看一次觀念，將觀念與題型作呼應
，每天持之以恆的做，千萬不要一昧的狂寫題目，因為觀念是死的，題目是活的，
練習是用來加強觀念，組織觀念的，把握這幾個概念，我相信大家都會學的不差的
，加油！
PS：今天逛街學生還打來問問題，我看他已經樂在其中了
目前分類：趣味數學 (6)
- Apr 26 Sat 2008 00:59
排列組合...
- Feb 09 Sat 2008 10:46
開集合與拓樸空間
大學修過拓樸的人應該是會影起共鳴吧~哈哈~~
誰說拓樸不重要! 誰說只是純理論!! 交大資工所的人還問過我拓樸 = = (不過那是我的巔峰時期，現在...)
Mr. Thursday介紹的書是我研究所時寫論文要拿來參考的專書說! 難怪那麼有親切感(還是恐懼感...)
引用自[MMDays專欄]
Posted By Mr. Thursday
在《探討拓樸和語意之間的關係》這篇文章裡面，稍微探討了語意的問題，以及拓樸對於語意問題可能的解決方法。然而在拓樸方面，只有約略和各位提到，拓樸就是對一個集合作運算，集合裡面的元素，不管怎樣子擴張壓縮變形，之間的關係都會維持著，這種運算就符合拓樸的條件。如果對於集合的基本想法和運算有些不記得，可以先參考另外一篇文章《集合: 從邏輯到1+1=2》。
因此，為了解決用電腦來處理語意資訊的這個問題，筆者打算用拓樸來嚐試解決，拓樸又是使用集合作為運算的基本單位，因此有了前面第一篇拓樸的簡介文章，以及第二篇有關集合的簡介文章。然而拓樸空間本身的定義，則是有一定程度的複雜性，接下來的一系列文章，我將努力把拓樸的觀念，在使用白話文、卻又不失去數學公式所定義的觀念下，向各位介紹「拓樸」(topology)，然後介紹「流形」(manifolds)，最後回到一開始設定的目標：「用流形 (manifolds) 來嚐試解決語意 (semantic) 問題」。
在這條漫長的道路裡面，今天我們先來看其中的一小段。今日的主角是「開集合」，英文是 open set。有了集合的基本概念，再加上「開集合」的概念，我們就可以開始了解「拓樸空間」的基本定義，在這條路上往前一步，同時也可以了解相關的概念：「歐氏空間」、「度量空間」、以及最廣義的「拓樸空間」。
離散集合與連續集合
在介紹「開集合」之前，讓我們先看看，「集合」是甚麼樣子呢？
如果有學過離散數學，也許印象中的集合，就是一些離散的元素，某些元素會形成一個集合。兩個集合有共同的元素，也就代表兩個集合是有交集的。上面這張圖裡面，前面兩條數線，就是代表一個一維的空間，有點的數線代表離散的集合，彩色線段的數線，則是代表實數的集合。實數也是有集合的，然而了解實數的集合，有時候就會需要了解實數的特性，因此會有其他複雜的地方出現，今天先不提 (先給一題有趣的讓各位想想，0.999…無限循環，是否等於1？答案：是)。
上圖的下面則是同樣對照離散集合和實數集合，只不過從一維空間的數線，推廣到二維空間的平面。讀者可以自己以此類推，想像一下在三維空間、四維空間、或是 n 維空間裡面，離散集合或是實數集合，會是甚麼樣子呢？
開集合
接下來讓我們先看一下 Wikipedia 上面，對開集合的定義：
A subset U of the Euclidean n-space Rn is called open if, given any point x in U, there exists a real number ε > 0 such that, given any point y in Rn whose Euclidean distance from x is smaller than ε, y also belongs to U. Equivalently, U is open if every point in U has a neighbourhood contained in U.
不是學數學的讀者看完可能昏倒了。不過Wikipedia也有寫一個比較直覺的定義，就是說一個集合裡面的元素，如果移動一點點距離，還是在原來的集合裡面，那麼這個集合就是開集合 (open set)。
下面這張圖分別是一維空間的實數開集合和閉集合的對照，上面兩個空心的線段，代表 (0,1)，也就是說，是一個實數線段，但是0和1這兩個數字不包括在這個線段裡面。這樣子的線段，就是一個開集合！
第二條數線上面的0到1的線段，是一個閉集合(closed set)，為甚麼呢？因為根據剛才的定義，我們把數線上面的端點 1 稍微往外面移動一段非常小的距離，我們會發現，1就會跑到原來的集合外面了。
這部分不知道各位會不會覺得太玄了？如果有問題的話之後可以再多解釋。 上圖的下面兩個圓圈，則是在二維空間裡面開集合和閉集合的對照，右邊那個圓不包括最外面那一圈圓周，因此裡面的每一個點，稍微移動一下距離，都還是待在原來的集合裡面，所以是一個開集合。
開集合在不同空間的定義
然而根據上面的定義，如果一個集合，是一個開集合，「集合裡面每一個元素，稍微移動一個很小的距離，都會待在原來的集合裡面」，就是一個開集合。這邊「很小的距離」，要如何定義呢？這個時候，在不同的空間裡面，對距離有不一樣的定義，開集合的定義，也就跟著不一樣了。首先看看我們最熟悉的「歐氏空間」。
歐式空間簡單地說，就是空間裡面物體之間的「距離」，可以用「相減平方開根號」來計算：
The Euclidean distance between points
and
, in Euclidean n-space, is defined as:
這是Wikipedia裡面的敘述，P和Q兩點之間的「距離」，在歐氏空間裡面，可以用這個「歐氏距離」來計算。
歐氏空間、度量空間、拓樸空間
所以，我們熟悉的歐氏空間，和度量空間、拓樸空間，有甚麼不同呢？我們先翻譯一下英文，歐氏空間英文叫做 Euclidean Space，度量空間英文叫做 Metric Space，拓樸空間英文叫做 Topological Space。這三種空間，最大的差別，就是在於對「距離」的定義。
剛才已經看到了歐氏空間距離的定義，那麼度量空間對距離的定義是甚麼呢？Wikipedia的敘述如下：
A metric space is a tuple (M,d) where M is a set and d is a metric on M, that is, a function
such that
- d(x, y) ≥ 0 (non-negativity)
- d(x, y) = 0 if and only if x = y (identity of indiscernibles)
- d(x, y) = d(y, x) (symmetry)
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (triangle inequality).
我們可以看到，度量空間開始在一個集合上面，定義元素之間的距離了。簡單地說，度量空
間的規定比歐氏空間少，他把距離交給一個函數d(x,y)來計算 x和y的距離，只要這個「距離函數」滿足上面的條件即可，其中最重要的，就是滿足「三角不等式」。三角不等式就是說，三角形的任意兩邊相加，必定大於第三邊的長度。x和y的距離，必定要小於x和z的距離加上 z和y的距離。符合這個條件，就是一個度量空間 (Metric Space)。
也因為如此，因為度量空間比歐氏空間還要寬鬆，所以只要一個空間是歐氏空間，必定是一個度量空間，但反之則不一定成立。
那麼拓樸空間是否就是一個更寬鬆的空間呢？是的！拓樸空間的規定更寬鬆，拓樸空間也是在一個集合上面定義，但是連距離函數都沒有，那麼怎樣子計算元素之間的距離呢？這邊就沒有距離了，只有「屬於」和「不屬於」的關係了！也就是說，探討拓樸空間裡面的物體，我們只問這個物體是否屬於某個集合，那個物體是否屬於某個集合，在拓樸空間裡面，只有集合，以及集合裡面元素從屬的概念。距離的概念，在拓樸空間裡面就消失了。當然，正式的拓樸空間比較嚴謹，讓我們先看看Wikipedia的定義：
The most common way to define a topological space is as a set X together with a collection T of subsets of X satisfying the following axioms:
- The empty set and X are in T.
- The union of any collection of sets in T is also in T.
- The intersection of any finite collection of sets in T is also in T.
The collection T is called a topology on X, and the elements of X are called points. Under this definition, the sets in T are the open sets, and their complements in X are the closed sets.
不知道各位是否看到，裡面出現了 “open set”了呢？ 所以從最前面講到現在，open set終於派上用場了！一個拓樸空間，我們可以想像成一個可以任意塑造的陶土。陶土上面每一個元素，就像是拓樸空間裡面的集合X裡面的元素。接下來集合X裡面的元素，必須依照一個拓樸 (topology)來塑造，我們用大寫字母T來代表。這個塑造，其實也是一個集合，但是是剛才大寫X集合元素形成的集合的集合。感覺又要開始混亂了，先確定一下各位了解，集合的集合這個概念，如果有問題歡迎之後提問。
T這個集合的集合 (定義裡面又用Collection來代表T這個集合的集合)，就是把X集合裡面的元素，某些元素規定在一起，某些元素放在一起，用「集合」本身，來規範空間裡面元素之間的關係，用「集合」運算裡面的「屬於」和「不屬於」，來定義空間裡面元素的關係。正式的T的定義，規定T要有封閉性，也就是T裡面的集合聯集(union)無限多次，仍就會變成T裡面的某個集合，也就是還在T裡面。T裡面的集合，有限次的交集(intersection)之後，還是在T裡面。符合上面這些條件，X集合、和T這個集合的集合，一起就稱為一個拓樸空間。
下面開始圖示法，綠色點就是集合X裡面的元素，藍色橢圓，就是塑造陶土形狀的集合，這些塑造形狀的集合，在變成一個大T集合的元素，也就是紅色橢圓，就是一個集合的集合 (因為集合裡面的元素，就是一個集合，所以叫做集合的集合)。大T又稱為 Collection，大T和X在一起，就定義出了一個拓樸空間。
最後，因為T的定義，讓T自然而然變成是一個開集合 open set，才能符合拓樸空間對T的定義。
不同空間的開集合定義
現在我們終於曉得三種空間的定義。歐氏空間、度量空間、拓樸空間，主要的差別在於「距離」的定義，歐氏空間規定最嚴格，距離使用「歐氏距離」的公式 (平方相加開根號)；度量空間比較寬鬆，把距離交給「距離函數」，只要滿足對稱性和三角不等式就可以。拓樸空間最寬鬆，沒有距離的概念，只有元素是否屬於某個集合的「從屬」概念，塑造元素關係的集合必須滿足有限交集、無限次聯集都有定義的限制，因此剛好又是開集合。
所以因為這三種空間的定義，一個歐氏空間一定是一個度量空間，一個度量空間必定是一個拓樸空間。但是反之則不然，一個拓樸空間可能不是一個度量空間，一個度量空間也可能因為不滿足歐氏距離，所以不是歐氏空間。下面讓我們再看一次這張示意圖：
講到這邊，雖然不同空間對於距離有不同的定義，但是開集合在不同空間的定義，還來不及一一敘述，只好等下一篇在繼續了。再加上拓樸空間本身又是開集合定義，讓我一開始也不知道要先介紹開集合，還是先介紹拓樸空間。因為先介紹拓樸空間，各位不知道開集合是甚麼，先介紹開集合，不同空間對開集合的定義又不一樣，實在是讓我不知道如何下筆才好。希望這一篇文章，至少讓各位可以先了解三種空間，在直覺或視覺上面，先有基本的了解！應該就很不錯了！
下回再繼續開集合的解說，希望能夠讓各位對於拓樸空間有比較清楚的了解。知道了開集合的基礎 (neighborhood、open ball)，用開集合定義出來的拓樸空間，我們才能繼續了解以拓樸空間定義的其他空間，最後才能到達旅程的目的地，也就是流形 (manifolds)。了解了流形，才能再回到一開始提出的想法：使用流形來嚐試解決語意的問題。
拓樸參考書
在學習拓樸之前，我也在網路上找各種定義，然而有些定義實在是不容易入門，最後在網路上找到這本書籍，覺得應該是本不錯的入門書，如果讀者有興趣可以買一本，或是直接在大學數學系的圖書館借看看。
書名：Introduction to Topological Manifolds
作者：John M. Lee
書本網站：
http://www.math.washington.edu/~lee/Books/manifolds.html
第一章試讀PDF
http://www.math.washington.edu/~lee/Books/Manifolds/c1.pdf
之前我就是從這本書開始慢慢打基礎，配合MathWorld網站的定義，才逐漸明瞭這一切概念之間的關聯。不過在這邊和各位分享的時候，相信我絕對不是從課本上面照抄，也不是直接英文翻成中文，而是以一種作註解的想法，希望讓各位更容易看懂，就如同古代有《水經》，後來為了讓讀者更容易了解，又有了《水經江水注》的著作。由於拓樸本來就不大容易懂，因此我要消化吸收後，再用大家更容易懂的方式寫出來，也就更不容易了。
然而，因為有了解決語意問題的這個目標， 每次的一小步也都有意義，也希望各為每次順暢地吸收一點知識，日積月累後也同樣懂得拓樸的知識！就如同大家都會九九乘法表，相信大家都會拓樸的時候，或許能夠有更多智慧可以由大家一起開發出來！願你我一同繼續努力！並祝各位新年快樂！
MMDays相關閱讀
Wikipedia相關連結
維基百科相關連結
MathWorld相關連結
- Dec 14 Fri 2007 00:03
六連棋 Hex
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E9%80%A3%E6%A3%8B
2.主頁:
http://home.earthlink.net/~vanshel/ (想下載遊戲可在左邊點選Download)
上次研習時，師大數學徐志農教授介紹的一款遊戲，裡面包含著複雜的數學理論運算，玩
法就是:
1.紅子為你，藍子為電腦，左右分別為兩條藍色及紅色的線
2.只要其中一方的棋子可連起來自己所屬的顏色，即為勝方。
記得當時研習時在場的老師都沒贏，我跟喬任也在慌亂中輸了...原本以為很容易的遊戲居
然這麼難 = =，不過昨天，就在昨天!! 我終於贏了!! 在玩了快五十次的情況下贏了!! 有
圖為據!
贏了之後不但可以另存你走棋的順序，也會將數據傳回遊戲自己的伺服器，和全世界的玩
家一起排名~ 聽教授說，他是以全球各區來分，真的是太專業了...
目前楊靖的網站
已有7X7必勝的走法(我贏的那麼辛苦才看到@@)，可以去逛逛，至於7x7以
上的，大家就好好研究研究囉!!
其實數學可以玩的很多，就看你怎麼發覺吧~ 有空大家可以玩玩囉~~~
- Sep 30 Sun 2007 10:14
正四面體的重心比例
今天講三角形的平面時額外問的我覺得還滿有趣的，但好像沒有什麼人會，
我在後面算了一下，整理出來，不然到時可能會忘記，哈~
- Sep 27 Thu 2007 00:42
高三的數學複習-by 森棚老師
常常幫高三的做總複習，沒想到他居然跟我的想法相印證，真的很中肯!! 以前板中的游老師，現在在高大當助理教授了~厲害厲害~~~ 不過我覺得還是在高中教學生比較好玩ㄟ~哈~~~
在網路上找到了我自己早就弄丟的資料, 大吃一驚. 這是教官在建中教數學時寫給同學的. 看了看覺得可以放上來, 讓學數學學得這麼痛苦的人少一點, 也是功德一件.
2006, 森棚教官
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一、前言
數學對大多數高中同學來說，一直是難以掌握的科目。許多的同學因為不得要領而厭惡數學、恐懼數學、甚或放棄數學──這真是一件可惜的事！特別到了高 三，有不少比例的同學根本放棄數學。不幸的是，數學這一科的分數差距不像其他科目，差個10分、20分就非常多了──數學科的差距很輕易就可以到達30 分、40分。因此，放棄數學就等於放棄考上好科系。
其實，要複習數學是有方法的，只要貫徹了這些方法，大考數學不可能考不好。不管再怎麼失常，表現都應該有一定的水準。
二、幾個不當的觀念
高三數學要絕地大反攻，首先要根除學習的不良習慣和錯誤想法：
（一） 「好，我要奮發圖強，重新做人！」
於是買一堆根本不可能唸完的書，排一堆根本不可能實現的計畫，三天之後接受殘酷的事實後，呵呵傻笑或自怨自艾，又回到原點。
（二）「下一次複習我會唸的更熟！」
喔！不，不可能。高三地毯式的複習只可能有一次。以後都只是唸重點。
（三）「模擬考爛掉了，沒救了啦！」
高三心情最忌諱受到影響，況且每次的考試題目也不見得出得很好。高三重要的是步調要對，要一直有前進的感覺，不要讓一些外在的因素影響心情。
（四）「只要我算得夠多，題型看得夠多，解題技巧夠多，就沒問題了。」
錯！事實上每個章節的基本觀念、基本技巧和基本題目根本屈指可數，而這些才是要花大量時間的地方。特殊的題目，巧妙的解法在大考中根本不可能出現。
三、幾個觀念澄清
根除了不良習慣和錯誤想法之後，我們要建立幾個重要的觀念：
（一）課本最重要
課本的內容是主幹，先有主幹再加枝葉。
（二）養成畫正確圖形的習慣
現在請同學畫一個正弦函數的圖。根據一般的經驗，絕大部分的同學都畫不出正確的比例。同學多半會說，這有什麼關係。但只要看看這幾年學測及指考對畫圖的要求，就知道正確畫圖的重要。
（三）不可瞧不起基本操作
有小聰明的同學，總是很不想放下身段去做一些基本的操作，比如輾轉相除法、勘根、數學歸納法、數列算幾項等等。很多同學在複習這幾個章節都是用看的，而不動手。但事實上，對概念的體會，經常是從基本操作來的。不動手的結果是：經常自以為會了，其實並不會。
（四）並不是每一個題目都要會
每份試卷中總是有一兩題是真正困難的。但是為什麼要為那兩題花大量的時間呢？不是只有數學一科要唸啊！基本的把握住，每科考個八十分就已經是非常頂尖的成績了呀！同學可以自己算一算每科八十分可以填什麼志願。
（五）學解題，是要學思路，不是背技巧
高中數學當然可以很難，比如數學競賽。但是聯考等級的數學真的不難，而且每個題目一定有一個自然的思路可以依循。學數學所謂的學解題，就是要學這樣的思路。
（六）永遠來得及，千萬不要放棄
高三愈到後來，愈是人心惶惶。所有意識到壓力和想考好的考生都會萌生放棄的念頭。但是大考真的是在比耐力，沒有人是唸完才去參加大考的！
四、數學科的學習要領
雖然我們談的主題是準備考試，然而，考試的目的在檢驗學習的成果，因此，掌握學習要領是考試爭取高分的基本工夫。底下是數學科的學習要領：
（一）基礎要穩固
數學不像其它文科「背一點算一點」，數學的學習是建立在原來的基礎上的。如果基礎不穩固，愈到後來就會愈吃力。這個道理在學數學的任何一個階段都一 樣！一開始一知半解混過去，到後來就會寸步難行。如果你自覺基礎不夠好，把一些奇怪的參考書或講義扔掉吧！把數學課本好好讀過，習題老老實實算一遍。
（二）從基本開始
這些可能像是老生常談，但是要學好數學的確就是這樣：
1.課本先懂，再談其他。
2.上課要抄筆記。
3.澈底瞭解基本公式定理的來龍去脈。
4.澈底瞭解典型的範例。
5.隨時隨地問「為什麼」，千萬不要一知半解。
（三）一定要「懂」！
許多同學唸數學的方法是「背」──背公式、背題型、背快速解法。這樣子唸，短時間會有看來不錯的成果，但是題目一變化，就一點辦法也沒有了。真正數學 唸得好的人，不會背太多的公式和題型，但是「基本的」公式、定理、題型一定是澈底瞭解、滾瓜爛熟、倒背如流！數學高手不怕沒看過的題目，只要掌握住基本， 就足以舉一反三，甚至反五、反十，何必背快速解法？
（四）動腦筋想！動手去試！
讀數學要手腦並用。一個題目不會怎麼辦？想想看，筆紙拿出來試一試。不動手算，絕不可能學好數學；不試著想也絕不可能學好數學！
五、給高三同學的幾個複習數學的建議
最後，我們特別給高三同學幾個絕對可行的建議：
（一）把課本找出來，從課本開始，做到爛熟
不管你使用的是哪個版本，一定要先讀過課本，並且熟練其中的內容。不是習題算過就算了，要熟練內容。這樣才會知道整個章節的理論架構，也才能體會什麼題目是章節的核心。這是數學要學好的最大關鍵。課本要反覆熟練，熟到章節的內容幾乎可以背。
（二）買一本好的複習參考書，做到爛熟
參考書一本就夠了。有觀念分析、解題思路分析，以及題目難度分級的最好。如果對於一個題目，莫名其妙就迸出答案而沒有講解，那可能不太適合。對照書中 的內容可當作課本重點的整理，然後把其中的題目當作補充。再加上歷屆的聯考題，好好一題一題想完做完。做題目先不求快，先求懂。
（三）固守1、2
好好唸完一套課本和一本參考書，就可以吸收到這本書的思想架構。許多同學複習數學時，眼前只有題海，就是沒有一本書可以固守。1、2就是同學固守的據點，確實做好這點，實力就會練得堅實。做題目時不要急著看答案，練習讓自己無依無靠，因為這才是大考的情境。
（四）觀念一定要吃透，重要題目一定要想透
觀念才是最該花心力的地方，不管怎麼不恥下問都該問到會。做題時要練習回顧，把一個單一的題目和數學的各部分連結起來。好好地想一題做一題，勝過隨隨便便算五十題。習慣了思考，沒見過的題目就不會害怕。
（五）反覆做熟課本和考古題，配合模擬考、月考、複習考
說實在，這樣題目就真的夠多了。重要的是自己做統整的工作練習站在高觀點，要跳出題海！
以上這幾點，希望同學們隨時做到，隨時體會。那麼學好數學，將不會是困難的事；而數學將會是你最有信心、投資報酬率最高的科目！
(本文作者為建國中學游森棚老師）
- Sep 21 Fri 2007 14:44
數學繪圖軟體Geogebra
剛剛試了一下，滿好上手的而且免費，只是需要安裝java程式，耗的資源比GSP一些些，範例也比較少...
這幾年得了很多獎，也有很多的教學，大家可以參考看看~~
首頁:http://www.geogebra.org/cms/
Wiki:http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/%E4%B8%AD%E6%96%87
台北縣錦和高中數學網站(裡面都是連結 = =):http://learn.jhsh.tpc.edu.tw/~smath/
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